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特征值分解的几何意义
内容
矩阵是线性变换的描述，而特征向量是这个变换中方向不变、只被拉伸或压缩的特殊向量，拉伸倍数就是特征值。以特征向量为基重新表达空间后，复杂的旋转拉伸变换能被拆解成”变换到特征基坐标→按特征值缩放→变换回原坐标”三步，特征值越大说明该方向承载的信息越多；特征值很小的方向信息量很少，舍弃它们就是矩阵分解做降维的基本原理。
参考来源
- 位置：《数据科学工程实践》第5章《行为规律的发现与挖掘》"5.1.2 SVD原理及推导·特征分解"一节（源文件：_epub-src/OEBPS/Text/part0027.xhtml）
- 结论依据：原文明确特征向量"矩阵变换对这些向量只是进行了简单的伸缩（倍乘），并没有改变向量的方向"，并说明对A做特征值分解后变换等价于"V-1x（变换到新的特征基坐标下）→ΛV-1x（沿坐标轴按特征值缩放）→VΛV-1x（变换回原始坐标系）"三步。
- 原始内容：矩阵变换对这些向量只是进行了简单的伸缩（倍乘），并没有改变向量的方向……λ是特征值，表示特征向量被拉伸或压缩的比例……V-1x可以看作坐标变换，其含义是将x变换到新的特征基坐标下表示……ΛV-1x……沿着坐标轴缩放，缩放因子正是对应的特征值λi……VΛV-1x：将缩放过的x变换回原始标准坐标系。