量词化的精确定义与量词跟联结词的逻辑区别

从谓词得到命题除了直接代入实参，还有量词化（quantification）这条路径：给定 一元谓词p(x)，EXISTS x(p(x))是一个命题，含义是”至少存在一个实参a使p(a) 为真”（存在量词，说明为真只需一个正例）；FORALL x(p(x))是一个命题，含义 是”所有可能的实参a都使p(a)为真”（全称量词，说明为假只需一个反例）。量词 和联结词有明确的逻辑差异：联结词组合两个含相同形参x的谓词后，结果仍是含 同一个形参x的谓词（例如p(x)AND q(x)还是关于x的谓词）；但对x做量词化 （EXISTS x(p(x))或FORALL x(q(x))）却会把谓词转换成命题，形参x被”用掉” 了——这是量词化区别于联结词的本质特征。对n元谓词而言，如果只用量词化的 方式得到命题，就必须对所有n个形参逐一量化；只量化m个（m≤n）会得到一个 k元谓词（k=n-m）。量化多个形参时次序也有讲究：同类量词（都是存在量词或都 是全称量词）之间的书写顺序可以任意交换而不改变整体含义（EXISTS x(EXISTS y(...))和EXISTS y(EXISTS x(...))说的是同一件事）；但不同类量词之间的 顺序则至关重要，交换会改变命题的真值和含义。