完全量词化产生的命题及量化顺序规则

用二元谓词”x比y高”完全量化两个形参，理论上能构造8个命题，但因为 [[量词化的精确定义与量词跟联结词的逻辑区别]]里”同类量词顺序不影响含义”这条 规则，8个实际归并成6个逻辑上不同的命题：EXISTS x(EXISTS y(...))（某人比 另一人高，通常为真）；EXISTS x(FORALL y(...))（某人比所有人都高，包括 自己，恒假）；FORALL x(EXISTS y(...))（所有人都比某人高，恒假）； EXISTS y(FORALL x(...))（某人比所有人都矮，恒假）；FORALL y(EXISTS x(...))（所有人都比某人矮，恒假）；FORALL x(FORALL y(...))（所有人都比 所有人高，恒假）。这个例子的关键教训是：即便6个命题里有5个的真值都恰好是 FALSE，也绝不能因此认为它们含义相同——事实上没有任何两个命题的含义是一样 的，真值巧合相同和逻辑含义相同是完全不同的两件事，这也说明只看命题最终的 真值判断，无法反推出量词组合的具体结构。这个例子还引出一条量化时容易被 忽视的隐含前提：以上判断全部假设了论域（这里是”人”）至少存在一个元素—— 如果这个前提不成立（论域为空），结论会完全不同（详见[[空区间陷阱FORALL在 空集合上恒为真的反直觉后果]]）。

结构图：

flowchart TD
    A["二元谓词: x比y高"] --> B["EXISTS x(EXISTS y(...))<br/>某人比另一人高: 真"]
    A --> C["EXISTS x(FORALL y(...))<br/>某人比所有人高: 假"]
    A --> D["FORALL x(EXISTS y(...))<br/>所有人都比某人高: 假"]
    A --> E["EXISTS y(FORALL x(...))<br/>某人比所有人矮: 假"]
    A --> F["FORALL y(EXISTS x(...))<br/>所有人都比某人矮: 假"]
    A --> G["FORALL x(FORALL y(...))<br/>所有人都比所有人高: 假"]
    C -.真值相同但含义各不相同.-> D
    D -.-> E
    E -.-> F
    F -.-> G